LOI.POISSON : Calculer les probabilités selon la distribution de Poisson
=LOI.POISSON(x; moyenne; cumulative)La formule LOI.POISSON est une fonction statistique avancée d'Excel qui permet de calculer les probabilités basées sur la distribution de Poisson. Cette distribution est fondamentale en statistiques pour modéliser le nombre d'événements qui se produisent dans un intervalle de temps ou d'espace fixe, lorsque ces événements sont indépendants et se produisent à un taux moyen constant. Elle est particulièrement utile dans les domaines comme le contrôle de qualité, la gestion des files d'attente, l'épidémiologie et les télécommunications. La distribution de Poisson repose sur l'hypothèse que les événements sont rares et imprévisibles individuellement, mais suivent une tendance statistique globale. Par exemple, elle peut modéliser le nombre d'appels reçus par un centre d'appels en une heure, le nombre de défauts dans une production industrielle, ou encore le nombre de pannes d'un serveur par jour. La fonction LOI.POISSON calcule soit la probabilité d'un nombre exact d'événements (fonction de probabilité), soit la probabilité cumulée jusqu'à ce nombre (fonction de répartition). Comprendre et maîtriser LOI.POISSON est essentiel pour les analystes de données, les responsables qualité et tous les professionnels travaillant avec des données statistiques. Cette fonction offre une précision mathématique supérieure aux approximations manuelles et s'intègre facilement dans des modèles de prévision complexes.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe complète de LOI.POISSON est : =LOI.POISSON(x; moyenne; cumulative). Le paramètre x représente le nombre d'événements pour lequel vous souhaitez calculer la probabilité. Il doit être un entier non-négatif (0, 1, 2, etc.). Le paramètre moyenne correspond à la valeur attendue ou lambda (λ), qui est le nombre moyen d'événements attendus dans l'intervalle considéré. Ce paramètre doit être strictement positif (> 0) et détermine la forme de la distribution. Le paramètre cumulative est un booléen (VRAI ou FAUX) : si FAUX, la fonction retourne la probabilité de masse (P(X = x)), si VRAI, elle retourne la probabilité cumulée (P(X ≤ x)). Pour utiliser correctement cette formule, vous devez d'abord identifier clairement votre intervalle de temps ou d'espace, puis calculer ou estimer le taux moyen d'occurrences (λ). Par exemple, si vous observez en moyenne 5 défauts par lot de 100 unités, λ = 5. Ensuite, décidez si vous avez besoin de la probabilité exacte (cumulative = FAUX) ou cumulée (cumulative = VRAI). Un conseil pratique : testez d'abord avec cumulative = FAUX pour comprendre la distribution, puis basculez à VRAI pour vos analyses de risque. Attention : x doit toujours être inférieur ou égal à la moyenne pour des résultats significatifs, sinon les probabilités deviennent négligeables.
xmeancumulativeExemples pratiques
Analyse des appels entrants dans un centre de contact
=LOI.POISSON(10;8;FAUX)Cette formule calcule la probabilité de masse pour x=10 avec une moyenne de 8. Elle retourne environ 0,0993 ou 9,93%, ce qui signifie qu'il y a environ 1 chance sur 10 de recevoir exactement 10 appels.
Prévention des défauts en production industrielle
=LOI.POISSON(3;2,5;VRAI)Avec cumulative = VRAI, cette formule retourne la probabilité cumulée P(X ≤ 3), soit environ 0,7576 ou 75,76%. Cela signifie qu'il y a 75,76% de chances d'avoir au maximum 3 défauts dans la journée.
Modélisation des pannes serveur
=LOI.POISSON(0;0,5;FAUX)Cette formule calcule la probabilité d'avoir exactement zéro événement (panne) avec une moyenne de 0,5. Le résultat est environ 0,6065 ou 60,65%, indiquant une bonne fiabilité du serveur.
Points clés à retenir
- LOI.POISSON modélise le nombre d'événements rares et indépendants dans un intervalle fixe, fondamental en statistiques appliquées.
- Les trois paramètres (x, moyenne, cumulative) doivent être correctement définis : x entier ≥ 0, moyenne > 0, cumulative booléen.
- Utilisez cumulative=FAUX pour les probabilités exactes et cumulative=VRAI pour les analyses de risque et les seuils cumulés.
- Pour les grandes moyennes (> 30), l'approximation normale est plus rapide et recommandée pour les modèles complexes.
- Validez toujours vos résultats en vérifiant que la variance observée ≈ moyenne, caractéristique clé de la distribution de Poisson.
Astuces de pro
Créez une table de référence avec LOI.POISSON pour différentes valeurs de x et moyennes. Cela vous permet de visualiser rapidement la distribution et d'identifier les seuils critiques sans recalculer à chaque fois.
Impact : Gain de temps de 30-50% sur les analyses répétitives et meilleure compréhension visuelle de la distribution.
Utilisez la propriété de la distribution de Poisson : si λ = moyenne, alors variance = moyenne aussi. Vous pouvez donc valider vos données en comparant la variance observée avec la moyenne.
Impact : Détection rapide d'anomalies dans vos données (si variance ≠ moyenne, vos données ne suivent pas une distribution de Poisson pure).
Pour les très grandes moyennes (> 100), préférez l'approximation normale : =LOI.NORMALE(x;λ;RACINE(λ);FAUX). C'est mathématiquement équivalent mais beaucoup plus rapide en calcul.
Impact : Amélioration drastique de la performance pour les modèles complexes avec milliers de calculs.
Testez toujours votre modèle avec cumulative=VRAI sur une plage (0 à x) et vérifiez que la somme approche 1 : =SOMME(LOI.POISSON(LIGNE(INDIRECT("0:100"));λ;FAUX)). Cela valide votre formule.
Impact : Assurance qualité de vos calculs et détection précoce des erreurs de paramétrage.
Combinaisons utiles
Analyse de risque avec seuil d'alerte
=SI(LOI.POISSON(5;3;VRAI)>0.95;"Alerte";"Normal")Cette combinaison utilise SI() pour déclencher une alerte si la probabilité cumulée dépasse 95%. Utile pour les systèmes de surveillance automatique en contrôle qualité.
Calcul de l'intervalle de confiance
=LOI.POISSON(x;MOYENNE(A1:A100);FAUX)Combine MOYENNE() pour calculer lambda à partir de données historiques, puis applique LOI.POISSON. Permet une analyse adaptée à vos données réelles.
Matrice de probabilités multi-scénarios
=SOMMEPROD(LOI.POISSON(LIGNE(INDIRECT("0:10"));B$1:B$5;FAUX))Utilise SOMMEPROD() et INDIRECT() pour calculer les probabilités pour plusieurs valeurs de x et plusieurs moyennes simultanément. Idéal pour les analyses de sensibilité.
Erreurs courantes
Cause : Le paramètre x n'est pas un entier ou la moyenne est négative/nulle. Par exemple : =LOI.POISSON(-2;5;FAUX) ou =LOI.POISSON(3;-1;FAUX)
Solution : Vérifiez que x est un nombre entier positif ou zéro, et que la moyenne est strictement positive. Utilisez INT() si nécessaire : =LOI.POISSON(INT(A1);B1;FAUX)
Cause : Les cellules référencées n'existent pas ou ont été supprimées. Par exemple : =LOI.POISSON(x;Z999;FAUX) où Z999 n'existe pas.
Solution : Vérifiez les références de cellules. Utilisez le mode d'édition (F2) pour voir les cellules surlignées. Corrigez les plages : =LOI.POISSON(A1;B1;FAUX)
Cause : Les valeurs sont hors limites acceptables. Par exemple : =LOI.POISSON(1000000;1;FAUX) ou une moyenne excessivement grande.
Solution : Réduisez les valeurs extrêmes ou divisez par une unité commune. Pour des grandes moyennes, considérez l'approximation normale : =LOI.NORMALE(x;moyenne;RACINE(moyenne);FAUX)
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que x est un entier non-négatif (0, 1, 2, ...). Utilisez INT() si nécessaire pour tronquer les décimales.
- 2.Confirmez que la moyenne (λ) est strictement positive (> 0). Une moyenne nulle ou négative provoque l'erreur #VALUE!.
- 3.Assurez-vous que cumulative est soit VRAI, soit FAUX (ou 1/0). D'autres valeurs génèrent une erreur.
- 4.Vérifiez les références de cellules avec F2 pour voir les plages surlignées. Les références invalides causent #REF!.
- 5.Pour les #NUM!, réduisez les valeurs extrêmes ou divisez par une unité commune (ex: par 1000 si les nombres sont très grands).
- 6.Testez votre formule avec des valeurs simples connues (ex: =LOI.POISSON(0;1;FAUX) doit retourner ≈0,3679) avant de l'appliquer à des données complexes.
Cas particuliers
x = 0 et moyenne très petite (ex: 0,1)
Comportement : LOI.POISSON(0;0,1;FAUX) retourne ≈0,9048, une probabilité très élevée d'avoir zéro événement.
Solution : C'est le comportement attendu. Une très petite moyenne signifie que les événements sont extrêmement rares.
Utile pour modéliser les situations où presque rien ne se passe, par exemple une panne très rare.
x très grand par rapport à moyenne (ex: x=100, moyenne=5)
Comportement : LOI.POISSON(100;5;FAUX) retourne une valeur extrêmement proche de zéro (quasi-impossible).
Excel peut afficher 0 en raison de la précision numérique. Utilisez cumulative=VRAI pour voir la probabilité cumulée si nécessaire.
moyenne = x (ex: moyenne=5, x=5)
Comportement : LOI.POISSON(5;5;FAUX) retourne ≈0,1755, le mode de la distribution pour cette moyenne.
Pour une distribution de Poisson, la probabilité maximale se situe généralement autour de x ≈ moyenne - 1 ou x ≈ moyenne.
Limitations
- •LOI.POISSON suppose que les événements sont indépendants et se produisent à un taux constant. Si ces conditions ne sont pas respectées, les résultats seront inexacts.
- •La fonction ne gère que les entiers pour x. Les valeurs décimales sont tronquées, ce qui peut masquer des erreurs de paramétrage.
- •Pour les très grandes moyennes (> 1000), Excel peut rencontrer des problèmes de précision numérique. L'approximation normale devient nécessaire.
- •LOI.POISSON ne s'applique qu'aux données discrètes (nombre d'événements). Pour les données continues (temps, distance), utilisez d'autres distributions comme LOI.NORMALE ou LOI.EXPONENTIELLE.
Alternatives
Modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais indépendants avec une probabilité constante. Plus flexible que Poisson pour les situations avec deux résultats possibles.
Quand : Utiliser quand vous avez un nombre d'essais défini (n) et une probabilité de succès fixe (p), par exemple le nombre de clients satisfaits sur 100 sondés.
Approximation continue et plus rapide pour les grandes moyennes (λ > 30). Utile pour les calculs de probabilités avec intervalles continus.
Quand : Préférer pour les grandes moyennes où Poisson devient coûteux en calcul, ou quand vous travaillez avec des données continues comme les poids ou les durées.
Compatibilité
✓ Excel
Depuis 2007
=LOI.POISSON(x; moyenne; cumulative) - Disponible dans Excel 2007, 2010, 2013, 2016, 2019 et 365✓Google Sheets
=POISSON(x; moyenne; cumulative) - Google Sheets utilise POISSON() sans le préfixe LOI.Syntaxe légèrement différente mais logique identique. Les paramètres et résultats sont équivalents.
✓LibreOffice
=POISSON(x; moyenne; cumulative) - LibreOffice Calc utilise POISSON() comme Google Sheets.