LOI.HYPERGEOMETRIQUE : Calculer les Probabilités d'Échantillonnage Sans Remise
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE(succes_echant; nombre_echant; succes_pop; nombre_pop)La formule LOI.HYPERGEOMETRIQUE est une fonction statistique avancée d'Excel qui permet de calculer la probabilité d'obtenir un nombre spécifique de succès dans un échantillon prélevé d'une population finie, sans remise. Contrairement à la loi binomiale qui suppose une remise (probabilité constante), cette loi s'applique à des situations réelles où chaque prélèvement modifie les probabilités suivantes. Cette fonction est particulièrement utile en contrôle qualité, en audit statistique et en gestion des stocks. Par exemple, si vous inspectez un lot de 1000 pièces dont 50 sont défectueuses, et que vous en prélevez 100, la loi hypergéométrique vous aide à déterminer la probabilité d'en trouver exactement 3 défectueuses. Elle trouve aussi des applications en sondages électoraux, en études cliniques et en analyses de conformité réglementaire. Comprendre cette formule vous permet de prendre des décisions statistiquement fondées basées sur des données réelles d'échantillonnage, sans supposer une remise qui fausserait souvent les calculs dans le contexte professionnel.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe complète de LOI.HYPERGEOMETRIQUE est : =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(succes_echant; nombre_echant; succes_pop; nombre_pop). Chaque paramètre joue un rôle crucial dans le calcul. Le paramètre succes_echant représente le nombre de succès observés dans votre échantillon - c'est la valeur que vous cherchez à analyser. Le paramètre nombre_echant définit la taille totale de l'échantillon prélevé de la population. Le paramètre succes_pop indique le nombre total de succès présents dans la population entière avant tout prélèvement. Enfin, nombre_pop représente la taille totale de la population. Points critiques : tous les paramètres doivent être des entiers positifs. succes_echant ne peut pas dépasser nombre_echant, et succes_pop ne peut pas dépasser nombre_pop. La fonction retourne une valeur décimale entre 0 et 1 représentant la probabilité. Conseil pratique : vérifiez toujours que succes_echant ≤ nombre_echant ET succes_echant ≤ succes_pop. Les valeurs doivent être cohérentes logiquement pour éviter des résultats erronés ou des erreurs #NUM!.
sample_snumber_samplepopulation_snumber_popExemples pratiques
Contrôle Qualité en Fabrication
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE(2;50;20;500)succes_echant=2 (défectueux trouvés), nombre_echant=50 (pièces inspectées), succes_pop=20 (défectueux totaux), nombre_pop=500 (production totale). Cette formule calcule la probabilité exacte de cette configuration.
Audit Administratif
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE(3;100;30;1000)Cette formule détermine la probabilité statistique de découvrir précisément 3 factures erronées dans un échantillon de 100, sachant que 30 erreurs existent dans les 1000 factures.
Sondage Electoral
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE(130;200;6000;10000)succes_echant=130 (favorables dans l'échantillon), nombre_echant=200 (taille du sondage), succes_pop=6000 (favorables totaux), nombre_pop=10000 (électeurs totaux). Calcule la probabilité d'obtenir cette répartition.
Points clés à retenir
- LOI.HYPERGEOMETRIQUE calcule les probabilités d'échantillonnage SANS remise pour des populations finies
- Tous les paramètres doivent être des entiers positifs avec des relations logiques strictes (succes_echant ≤ nombre_echant ≤ nombre_pop)
- La fonction retourne une probabilité entre 0 et 1 ; utilisez SI() pour convertir en décisions automatiques
- Pour les populations très grandes, elle converge vers LOI.BINOMIALE ; pour les calculs cumulés, préférez HYPGEOM.DIST
- Combinez-la avec SOMME, IF et des analyses de sensibilité pour des modèles de décision robustes
Astuces de pro
Utilisez les noms de plages pour rendre vos formules lisibles : =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(Defauts_Echantillon;Taille_Echantillon;Defauts_Population;Taille_Population)
Impact : Améliore la maintenabilité et réduit les erreurs de référence. Les collègues comprennent immédiatement la logique.
Pour les analyses rapides, créez un tableau de référence avec HYPGEOM.DIST(;;cumul:=VRAI) pour comparer P(X=k) vs P(X≤k)
Impact : Permet de visualiser rapidement les distributions de probabilité et d'identifier les seuils critiques sans calculs manuels.
Combinez avec MOYENNE et ECART.TYPE pour calculer l'espérance et la variance : moyenne = nombre_echant*succes_pop/nombre_pop
Impact : Fournit une compréhension complète de la distribution et facilite les comparaisons avec d'autres analyses statistiques.
Validez toujours vos paramètres avec des formules de contrôle : =ET(succes_echant≤nombre_echant;succes_pop≤nombre_pop;nombre_echant≤nombre_pop)
Impact : Prévient les erreurs #NUM! et garantit l'intégrité des données avant le calcul principal.
Combinaisons utiles
Calcul de probabilité cumulée (P(X≤k))
=SOMME(LOI.HYPERGEOMETRIQUE(LIGNE(INDIRECT("0:"&A1));B1;C1;D1))Combine SOMME et INDIRECT pour calculer la probabilité cumulée jusqu'à k succès. Remplacez A1 par le nombre maximum de succès souhaité. Très utile pour les analyses de risque.
Intégration avec IF pour seuil de décision
=SI(LOI.HYPERGEOMETRIQUE(A1;B1;C1;D1)>0.05;"Acceptable";"Rejeter")Utilise IF pour prendre une décision automatique basée sur un seuil de probabilité (ici 5%). Parfait pour l'automatisation des contrôles de qualité ou des décisions d'audit.
Analyse de sensibilité avec TABLEAU CROISÉ
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE($A2;B$1;$C2;$D2)Crée une matrice d'analyse en variant succes_echant (colonnes) et succes_pop (lignes). Permet de visualiser comment la probabilité change selon les paramètres.
Erreurs courantes
Cause : Les paramètres ne respectent pas les contraintes logiques : succes_echant > nombre_echant, ou succes_pop > nombre_pop, ou des valeurs négatives sont utilisées.
Solution : Vérifiez que succes_echant ≤ nombre_echant ET succes_echant ≤ succes_pop. Assurez-vous que tous les paramètres sont des entiers positifs. Exemple : =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(5;10;8;20) fonctionne, mais =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(15;10;8;20) génère #NUM!.
Cause : Un ou plusieurs paramètres contiennent du texte, des valeurs décimales non entières, ou des références cellulaires invalides.
Solution : Utilisez INT() ou ENTIER() pour convertir les décimales en entiers. Vérifiez que toutes les cellules référencées contiennent des nombres. Exemple correct : =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(INT(A1);INT(B1);INT(C1);INT(D1)).
Cause : Une cellule référencée dans la formule a été supprimée ou le classeur source a été fermé sans mise à jour des liens.
Solution : Recalculez les références cellulaires ou utilisez des valeurs fixes. Vérifiez que toutes les cellules existent et contiennent des données valides. Utilisez Ctrl+Maj+F9 pour recalculer les formules.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que succes_echant ≤ nombre_echant (impossible d'avoir plus de succès que de prélèvements)
- 2.Confirmez que succes_pop ≤ nombre_pop (impossible d'avoir plus de succès que de population totale)
- 3.Assurez-vous que nombre_echant ≤ nombre_pop (l'échantillon ne peut pas dépasser la population)
- 4.Vérifiez que tous les paramètres sont des entiers (utilisez INT() si nécessaire)
- 5.Testez avec des valeurs extrêmes simples : =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(1;2;1;2) doit retourner 1 ou une valeur proche
- 6.Comparez avec HYPGEOM.DIST si Excel 2010+ pour valider les résultats
Cas particuliers
succes_echant = 0 (aucun succès recherché dans l'échantillon)
Comportement : La formule retourne la probabilité de ne trouver AUCUN succès. Par exemple, =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(0;50;20;500) calcule P(X=0).
Solution : C'est un cas valide et utile pour les analyses de risque zéro défaut.
Souvent utilisé en contrôle qualité pour évaluer la probabilité d'un lot parfait.
succes_echant = nombre_echant (tous les prélèvements sont des succès)
Comportement : La formule retourne la probabilité que TOUS les éléments de l'échantillon soient des succès. Exemple : =LOI.HYPERGEOMETRIQUE(50;50;100;200).
Solution : Cas valide si succes_pop ≥ nombre_echant.
Probabilité généralement très faible sauf si succes_pop est très proche de nombre_pop.
Population très petite (nombre_pop < 100) ou échantillon très grand (nombre_echant > nombre_pop/2)
Comportement : La fonction retourne des résultats corrects mais les probabilités peuvent être extrêmes (très proches de 0 ou 1).
Solution : Validez que vos hypothèses statistiques sont réalistes. Vérifiez les contraintes de population finie.
Dans ces cas, envisagez une simulation Monte-Carlo pour valider les résultats.
Limitations
- •La fonction suppose que la population est finie et bien définie. Elle ne fonctionne pas pour des populations infinies ou continues.
- •Tous les paramètres doivent être des entiers ; les valeurs décimales causent une erreur #VALUE! ou sont tronquées silencieusement selon le contexte.
- •Pour les très grandes populations (>1 million), les calculs combinatoires peuvent causer des erreurs de précision numérique ou des débordements.
- •La fonction ne gère pas les cas où succes_pop ou nombre_echant sont négatifs ; elle retourne #NUM! sans message d'erreur explicite.
Alternatives
Version améliorée avec paramètre cumul optionnel. Permet de calculer P(X≤k) directement sans addition manuelle. Syntaxe : =HYPGEOM.DIST(succes_echant;nombre_echant;succes_pop;nombre_pop;[cumul])
Quand : Préférez cette fonction si vous utilisez Excel 2010 ou ultérieur pour plus de flexibilité et de clarté.
Compatibilité
✓ Excel
Depuis Excel 2007
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE(succes_echant;nombre_echant;succes_pop;nombre_pop)✓Google Sheets
=HYPGEOM.DIST(succes_echant;nombre_echant;succes_pop;nombre_pop;FAUX)Google Sheets utilise HYPGEOM.DIST avec paramètre cumul au lieu de LOI.HYPERGEOMETRIQUE. La fonction est disponible mais avec une syntaxe légèrement différente.
✓LibreOffice
=HYPGEOM(succes_echant;nombre_pop;succes_pop;nombre_echant)