PHI Excel : Maîtriser la fonction de densité de probabilité normale
=PHI(x)La formule PHI est une fonction statistique avancée d'Excel qui calcule la densité de probabilité de la distribution normale standard. Elle représente la hauteur de la courbe de Gauss à un point donné, ce qui est essentiel pour les analyses statistiques professionnelles. Cette fonction trouve ses applications dans de nombreux domaines : finance quantitative, contrôle qualité, recherche scientifique et modélisation de risques. Contrairement à NORM.S.DIST qui retourne une probabilité cumulative, PHI fournit la densité de probabilité ponctuelle. C'est un outil indispensable pour les statisticiens, analystes financiers et chercheurs qui travaillent avec des distributions normales. Comprendre PHI vous permettra de construire des modèles statistiques plus sophistiqués et d'interpréter correctement les résultats de vos analyses. La maîtrise de cette fonction ouvre des portes vers des analyses prédictives avancées et une meilleure compréhension des phénomènes probabilistes dans vos données d'entreprise.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe de la formule PHI est extrêmement simple : =PHI(x), où x représente la valeur pour laquelle vous souhaitez calculer la densité de probabilité de la distribution normale standard. Le paramètre x peut être n'importe quel nombre réel, positif, négatif ou zéro. Le paramètre x est obligatoire et doit être une valeur numérique. Si vous passez une valeur non numérique, Excel retournera une erreur #VALUE!. Techniquement, PHI applique la formule mathématique de la fonction de densité : φ(x) = (1/√(2π)) × e^(-x²/2), ce qui représente la hauteur de la courbe normale à chaque point x. Un conseil pratique : avant d'utiliser PHI, assurez-vous que votre variable est standardisée si nécessaire. Si vos données suivent une distribution normale mais ne sont pas centrées-réduites, utilisez la fonction STANDARDIZE avant PHI. Par exemple, =PHI(STANDARDIZE(valeur; moyenne; écart_type)) vous permettra de travailler avec des données non standardisées. La fonction retourne toujours un nombre décimal entre 0 et 0,3989 (le maximum de la courbe normale).
xExemples pratiques
Analyse de contrôle qualité en production
=PHI(STANDARDIZE(51;50;2))La fonction STANDARDIZE convertit 51mm en score z standardisé ((51-50)/2 = 0,5), puis PHI calcule la densité de probabilité à ce point. Cela indique la concentration de probabilité autour de cette valeur.
Modélisation de rendements financiers
=PHI(2)Avec une valeur déjà standardisée (2 écarts-types au-dessus de la moyenne), PHI retourne directement la densité. Cette valeur est importante pour les calculs de Value-at-Risk et les analyses de risque extrême.
Recherche en psychométrie - Scores de tests
=PHI(STANDARDIZE(A2;100;15)) où A2 contient les scoresEn appliquant cette formule à une colonne de scores, on obtient la densité de probabilité pour chaque score, permettant de tracer une courbe de distribution réelle.
Points clés à retenir
- PHI calcule la densité de probabilité de la distribution normale standard, pas la probabilité cumulative.
- La fonction nécessite que les données soient standardisées (μ=0, σ=1). Utilisez STANDARDIZE pour convertir vos données.
- Le maximum de PHI est 0,3989 atteint à x=0. Les valeurs diminuent rapidement en s'éloignant du centre.
- PHI est disponible uniquement à partir d'Excel 2013. Pour les versions antérieures, utilisez NORM.S.DIST ou la formule mathématique.
- PHI s'utilise principalement dans les analyses statistiques avancées, la modélisation financière et le contrôle qualité.
Astuces de pro
Utilisez PHI pour créer des cartes thermiques de probabilité. Appliquez la formule à une matrice de valeurs x et y pour visualiser les zones de forte densité.
Impact : Améliore la communication des résultats statistiques et rend les patterns visibles immédiatement.
Combinez PHI avec des conditions (SI) pour identifier les valeurs aberrantes. Si PHI(x) < 0,001, la valeur est extrême dans la distribution normale.
Impact : Automatise la détection des anomalies et outliers sans calculs supplémentaires complexes.
Pour les calculs de vraisemblance en statistique bayésienne, utilisez PHI pour pondérer les hypothèses. La densité indique la plausibilité de chaque observation.
Impact : Permet des analyses probabilistes sophistiquées pour la prise de décision en incertitude.
Créez une colonne helper avec STANDARDIZE une fois, puis référencez-la avec PHI. Cela améliore les performances et la lisibilité du classeur.
Impact : Réduit les calculs redondants et facilite le débogage des formules complexes.
Combinaisons utiles
Densité pour données non-standardisées
=PHI(STANDARDIZE(A2;MOYENNE($A$2:$A$100);ECARTYPE($A$2:$A$100)))Combine PHI avec STANDARDIZE pour calculer la densité directement sur des données brutes. STANDARDIZE convertit chaque valeur en score z, puis PHI retourne la densité. Très utile pour analyser des distributions réelles.
Intervalle de confiance avec densité
=SOMME(PHI(SUITE(-3;0,1;61)))*0,1Combine PHI avec SUITE pour approximer l'aire sous la courbe entre -3 et +3 écarts-types. Multipliez par la largeur de l'intervalle (0,1) pour obtenir une intégration numérique. Résultat proche de 0,9973.
Comparaison de densités multiples
=PHI(A2)/MAX(PHI($A$2:$A$100))Normalise les densités en les divisant par le maximum observé. Utile pour créer des graphiques comparatifs ou des scores de vraisemblance relative entre différentes valeurs.
Erreurs courantes
Cause : Le paramètre x n'est pas une valeur numérique. Par exemple : =PHI("texte") ou =PHI(A1) où A1 contient du texte.
Solution : Vérifiez que la cellule référencée contient un nombre. Utilisez la fonction VALUE() pour convertir du texte en nombre si nécessaire : =PHI(VALUE(A1))
Cause : La formule référence une cellule supprimée ou un classeur fermé. Par exemple : =PHI(Feuille1!A1) après suppression de Feuille1.
Solution : Vérifiez que toutes les références de cellules existent. Recalculez les références ou utilisez des valeurs directes : =PHI(2) au lieu de références brisées.
Cause : Bien rare avec PHI, cela peut survenir en cas de débordement de calcul avec des valeurs extrêmes (|x| > 1000).
Solution : Limitez l'amplitude des valeurs d'entrée. Pour les valeurs extrêmes, la densité est pratiquement zéro et peut être arrondie manuellement.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que le paramètre x est bien un nombre. Utilisez ISNUMBER(x) pour tester.
- 2.Confirmez que vous n'avez pas besoin de STANDARDIZE. PHI fonctionne uniquement sur la distribution standard (μ=0, σ=1).
- 3.Assurez-vous qu'Excel est à jour (version 2013 minimum). PHI n'existe pas dans Excel 2007 ou 2010.
- 4.Testez avec une valeur simple comme =PHI(0) qui doit retourner ~0,3989. Si ce n'est pas le cas, Excel a un problème.
- 5.Vérifiez que les références de cellules ne sont pas brisées. Utilisez Ctrl+Maj+F9 pour recalculer le classeur.
- 6.Si vous combinez PHI avec d'autres fonctions, testez chaque partie séparément pour isoler l'erreur.
Cas particuliers
x = 0 (centre de la distribution)
Comportement : PHI retourne le maximum théorique : 0,39894228...
C'est le comportement attendu. Utile pour normaliser d'autres densités.
x = valeurs très extrêmes (|x| > 10)
Comportement : PHI retourne des valeurs très proches de zéro (< 0,00000001), risque d'arrondi informatique.
Solution : Pour les valeurs extrêmes, considérez la densité comme pratiquement zéro. Vous pouvez arrondir à 0 ou utiliser une condition.
C'est normal mathématiquement. Les queues de la distribution normale sont extrêmement fines.
x = valeurs négatives (par exemple -2)
Comportement : PHI(-2) = PHI(2) ≈ 0,0540 (la fonction est symétrique)
La distribution normale standard est symétrique autour de zéro. Les valeurs positives et négatives équidistantes ont la même densité.
Limitations
- •PHI fonctionne uniquement avec la distribution normale standard. Pour d'autres distributions (binomiale, Poisson, exponentielle), vous devez utiliser d'autres fonctions ou formules.
- •La fonction ne gère pas les distributions bivariées ou multivariées. Pour les analyses multidimensionnelles, vous devez construire des formules personnalisées.
- •PHI retourne la densité ponctuelle, pas une probabilité directe. Pour des probabilités sur des intervalles, vous devez intégrer (approximer avec SOMME) ou utiliser NORM.S.DIST avec cumul=VRAI.
- •Pas de paramètres optionnels pour modifier le comportement. Contrairement à NORM.DIST, vous ne pouvez pas spécifier une moyenne ou écart-type différents directement dans PHI.
Alternatives
Compatibilité
✓ Excel
Depuis Excel 2013
=PHI(x)✗Google Sheets
Non disponible
✓LibreOffice
=PHI(x) - Identique à Excel