LOI.WEIBULL : Calculer les Probabilités de Distribution Weibull en Excel
=LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative)La formule LOI.WEIBULL est une fonction statistique avancée d'Excel qui permet de calculer les probabilités associées à la distribution de Weibull, l'une des distributions les plus importantes en analyse de fiabilité et en ingénierie. Cette distribution est particulièrement utile pour modéliser la durée de vie des équipements, les temps de défaillance, et analyser la fiabilité des systèmes industriels. Elle s'applique dans de nombreux domaines professionnels tels que la maintenance préventive, le contrôle qualité, l'assurance et l'analyse des risques. La distribution de Weibull offre une flexibilité remarquable grâce à ses deux paramètres (alpha et beta) qui permettent d'adapter la courbe à différents profils de défaillance. Que vous ayez besoin de calculer la probabilité cumulative qu'un équipement tombe en panne avant une certaine durée, ou la densité de probabilité à un moment précis, LOI.WEIBULL vous fournit les outils nécessaires pour une analyse statistique rigoureuse et fiable.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe complète de LOI.WEIBULL est : =LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative). Le paramètre x représente la valeur à évaluer, c'est-à-dire le point sur lequel vous souhaitez calculer la probabilité (par exemple, le nombre d'heures de fonctionnement d'une machine). Alpha est le paramètre de forme de la distribution, qui détermine la nature de la courbe : une valeur inférieure à 1 indique une défaillance décroissante, une valeur égale à 1 correspond à une distribution exponentielle, et une valeur supérieure à 1 indique une défaillance croissante. Beta est le paramètre d'échelle, aussi appelé paramètre de vie caractéristique, qui localise la distribution sur l'axe des abscisses et représente généralement la durée de vie médiane. Le paramètre cumulative est un booléen (VRAI ou FAUX) : si vous entrez VRAI, la fonction retourne la fonction de distribution cumulative (probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x), tandis que FAUX retourne la fonction de densité de probabilité. Cette distinction est cruciale pour votre analyse statistique et dépend directement de la question que vous posez.
xalphabetacumulativeExemples pratiques
Analyse de fiabilité d'une turbine industrielle
=LOI.WEIBULL(5000; 2.5; 8000; VRAI)Cette formule calcule la probabilité cumulative qu'une turbine tombe en panne avant 5000 heures. Le résultat indique le risque de défaillance précoce.
Estimation de la densité de probabilité pour un composant électronique
=LOI.WEIBULL(1500; 1.2; 3000; FAUX)Cette formule retourne la fonction de densité de probabilité (pas cumulative), montrant la concentration de probabilité à ce point spécifique. Elle aide à identifier le moment où les défaillances sont les plus probables.
Planification de maintenance préventive pour une flotte de véhicules
=LOI.WEIBULL(100000; 1.8; 120000; VRAI)Cette formule calcule la probabilité cumulative à 100000 km. Si le résultat est inférieur à 0.80, il faut augmenter x pour trouver le kilométrage correspondant à 80% de défaillance probable.
Points clés à retenir
- LOI.WEIBULL calcule les probabilités de la distribution de Weibull, essentielle pour l'analyse de fiabilité et la maintenance préventive en industrie.
- Les paramètres alpha (forme) et beta (échelle) définissent complètement la distribution : alpha < 1 = défaillance décroissante, = 1 = exponentielle, > 1 = croissante.
- Utilisez cumulative=VRAI pour les probabilités cumulatives (pourcentage de défaillance avant x) et FAUX pour la densité de probabilité (forme de la courbe).
- Préférez WEIBULL.DIST à LOI.WEIBULL pour les nouveaux projets, car c'est la version moderne avec meilleure compatibilité.
- Combinez LOI.WEIBULL avec SI, IFERROR et d'autres fonctions pour créer des modèles de décision robustes et des tableaux de bord de monitoring fiables.
Astuces de pro
Utilisez LOI.WEIBULL.INV pour trouver les quantiles : si vous cherchez le temps où 90% des défaillances se produisent, utilisez =WEIBULL.INV(0.9; alpha; beta) plutôt que de tâtonner avec LOI.WEIBULL.
Impact : Gagne du temps dans la planification de maintenance et améliore la précision des seuils d'intervention.
Créez un graphique de distribution en combinant LOI.WEIBULL avec une plage de valeurs x. Générez une colonne avec =SEQUENCE(100)*10 pour x, puis appliquez LOI.WEIBULL à chaque valeur pour visualiser la courbe.
Impact : Permet de visualiser rapidement la forme de la distribution et d'identifier les anomalies dans vos paramètres.
Testez vos paramètres alpha et beta en calculant la médiane théorique : =beta*LN(2)^(1/alpha). Comparez-la avec la médiane observée de vos données pour valider l'ajustement.
Impact : Assure que votre modèle Weibull représente fidèlement vos données réelles avant de l'utiliser pour des décisions critiques.
Pour éviter les erreurs #NUM!, encapsulez toujours LOI.WEIBULL dans une validation : =IFERROR(LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative); "Paramètres invalides"). Cela rend vos modèles robustes.
Impact : Prévient les calculs erronés et facilite le débogage en cas de données corrompues ou manquantes.
Combinaisons utiles
Calcul de la fiabilité (probabilité de survie) avec 1-LOI.WEIBULL
=1-LOI.WEIBULL(5000; 2.5; 8000; VRAI)La fiabilité R(t) est l'inverse de la probabilité de défaillance. Cette formule calcule la probabilité qu'un équipement survive au-delà de t heures. Essentielle pour la planification de maintenance et les garanties.
Comparaison de scénarios avec SI et LOI.WEIBULL
=SI(LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; VRAI)>0.5; "Risque élevé"; "Risque acceptable")Combine LOI.WEIBULL avec SI pour classer automatiquement les risques. Si la probabilité de défaillance dépasse 50%, le système signale un risque élevé. Utile pour les tableaux de bord de monitoring.
Analyse de sensibilité avec TABLEAU CROISÉ et LOI.WEIBULL
=LOI.WEIBULL($A2; B$1; $C$2; VRAI)Utilisez des références mixtes ($) pour créer un tableau de sensibilité montrant comment la probabilité varie selon x et alpha. Idéal pour explorer différents scénarios de paramètres et identifier les seuils critiques.
Erreurs courantes
Cause : Les paramètres alpha ou beta sont négatifs ou zéro, ce qui est mathématiquement impossible pour une distribution de Weibull. Également si x est négatif alors que la distribution ne supporte que les valeurs positives.
Solution : Vérifiez que alpha > 0, beta > 0 et x ≥ 0. Utilisez =SI(alpha<=0;"Erreur";LOI.WEIBULL(...)) pour valider vos données avant le calcul.
Cause : Un ou plusieurs paramètres ne sont pas numériques. Par exemple, une cellule contient du texte ou une formule retourne une erreur, ou le paramètre cumulative n'est pas un booléen valide.
Solution : Assurez-vous que tous les paramètres sont des nombres. Utilisez ISNUMBER() pour vérifier : =SI(ISNUMBER(x);LOI.WEIBULL(...);"Paramètre invalide")
Cause : Une cellule référencée dans la formule a été supprimée ou déplacée, rendant la référence invalide. Cela arrive souvent lors de suppressions de colonnes ou lignes.
Solution : Vérifiez toutes les références de cellules dans votre formule. Recalculez les références manuellement ou utilisez la fonction Rechercher & Remplacer pour corriger les références cassées.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que alpha > 0 et beta > 0 : la distribution de Weibull n'existe que pour des paramètres positifs strictement.
- 2.Assurez-vous que x ≥ 0 : la variable x ne peut pas être négative dans le contexte de fiabilité (durée, kilométrage, etc.).
- 3.Confirmez que cumulative est un booléen valide : VRAI ou FAUX, pas 1 ou 0 (bien que Excel accepte parfois ces derniers).
- 4.Vérifiez les références de cellules : utilisez Ctrl+` pour afficher les formules et confirmer que les références pointent aux bonnes cellules.
- 5.Testez avec des valeurs connues : calculez manuellement ou utilisez un outil tiers pour valider que vos résultats sont plausibles.
- 6.Vérifiez la version d'Excel : LOI.WEIBULL est disponible à partir d'Excel 2007. Pour les versions antérieures, utilisez une alternative ou mettez à jour.
Cas particuliers
x = 0 avec alpha > 0 et beta > 0
Comportement : LOI.WEIBULL retourne 0 si cumulative=VRAI (probabilité nulle à zéro) et une valeur très grande ou infinie si cumulative=FAUX (densité infinie à l'origine quand alpha < 1).
Solution : En pratique, utilisez une petite valeur positive (ex: 0.001) pour éviter les singularités mathématiques si vous travaillez avec des données de fiabilité.
Cela reflète le comportement mathématique correct mais peut être contre-intuitif en contexte métier.
alpha = 1 exactement
Comportement : La distribution de Weibull dégénère en distribution exponentielle. LOI.WEIBULL retourne les mêmes résultats que LOI.EXPONENTIELLE(x; 1/beta; cumulative).
Solution : Pour alpha=1, vous pouvez utiliser LOI.EXPONENTIELLE à la place pour plus de clarté et potentiellement meilleures performances.
Utile pour valider que vos paramètres sont corrects : si alpha doit être >1 mais vaut 1, cela indique possiblement un problème d'ajustement.
Valeurs très grandes de x (ex: x > 1000000) avec petits alpha et beta
Comportement : La probabilité cumulative tend vers 1 et la densité vers 0, pouvant causer des arrondis numériques et une perte de précision.
Solution : Normalisez vos données en divisant x, alpha et beta par une même échelle (ex: diviser par 1000 si les valeurs sont en milliers). Recalculez après pour interpréter correctement.
Excel gère généralement bien ces cas mais une normalisation préalable améliore la stabilité numérique.
Limitations
- •LOI.WEIBULL ne fonctionne que pour des distributions unimodales (une seule forme de courbe) : elle ne peut pas modéliser des défaillances multimodales ou des distributions complexes à plusieurs pics.
- •La fonction suppose que les paramètres alpha et beta sont connus ou précalculés ailleurs : Excel ne fournit pas d'outil natif pour estimer ces paramètres à partir de données brutes (nécessite des analyses externes ou des add-ins).
- •LOI.WEIBULL n'est disponible que jusqu'à Excel 2010 avec ce nom : les versions plus récentes préfèrent WEIBULL.DIST, rendant les formules anciennes potentiellement obsolètes à long terme.
- •La précision numérique peut se dégrader pour des valeurs extrêmes (très petits alpha, très grands x, ou probabilités très proches de 0 ou 1), limitant son utilité pour des analyses d'extrêmes.
Alternatives
Version moderne de LOI.WEIBULL avec la même fonctionnalité. Recommandée pour Excel 2010 et versions ultérieures. Meilleure compatibilité avec les versions récentes et les versions cloud.
Quand : Préférez WEIBULL.DIST pour tout nouveau projet Excel ou si vous utilisez Excel 365, car LOI.WEIBULL est maintenue principalement pour la rétrocompatibilité.
Compatibilité
✓ Excel
Depuis Excel 2007
=LOI.WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative) - Utilise le séparateur point-virgule en France/Europe, virgule en anglais.✓Google Sheets
=WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative) - Google Sheets utilise WEIBULL sans le préfixe LOI.Syntaxe légèrement différente mais fonctionnalité identique. Les paramètres et comportement sont identiques à Excel.
✓LibreOffice
=WEIBULL(x; alpha; beta; cumulative) - LibreOffice utilise également WEIBULL, compatible avec Google Sheets.