LOI.WEIBULL.N : La Formule Excel pour Analyser les Distributions de Weibull
=LOI.WEIBULL.N(x; alpha; bêta; cumulative)La formule LOI.WEIBULL.N est une fonction statistique avancée d'Excel qui permet de calculer la distribution de Weibull, l'une des distributions de probabilité les plus importantes en ingénierie et en analyse de fiabilité. Cette distribution est particulièrement utilisée pour modéliser la durée de vie des équipements, analyser les temps de défaillance et évaluer la fiabilité des systèmes industriels. Contrairement aux distributions normales, la loi de Weibull offre une flexibilité remarquable grâce à ses paramètres de forme et d'échelle, permettant de s'adapter à une grande variété de phénomènes réels. La fonction LOI.WEIBULL.N (introduite en Excel 2010 pour remplacer LOI.WEIBULL) calcule soit la fonction de densité de probabilité (PDF), soit la fonction de distribution cumulative (CDF) selon vos besoins. Elle est indispensable pour les analystes de données, les ingénieurs en fiabilité, les actuaires et les chercheurs qui doivent modéliser des phénomènes d'usure, de dégradation ou de défaillance. Avec ses quatre paramètres bien définis, cette formule offre une puissance de calcul exceptionnelle pour des analyses statistiques sophistiquées.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe complète de LOI.WEIBULL.N est : =LOI.WEIBULL.N(x; alpha; bêta; cumulative). Le paramètre x représente la valeur pour laquelle vous souhaitez évaluer la distribution - il doit être un nombre positif ou nul. Le paramètre alpha est le paramètre de forme (shape parameter) qui contrôle la forme de la courbe de distribution : une valeur inférieure à 1 crée une courbe décroissante (défaillances précoces), une valeur égale à 1 génère une distribution exponentielle, et une valeur supérieure à 1 produit une courbe en cloche. Le paramètre bêta est le paramètre d'échelle (scale parameter) qui détermine l'étirement horizontal de la distribution et représente généralement la durée de vie caractéristique. Le paramètre cumulative est booléen : entrez VRAI pour obtenir la fonction de distribution cumulative (probabilité que X soit inférieur ou égal à x), ou FAUX pour la fonction de densité de probabilité (hauteur de la courbe au point x). Conseil pratique : validez toujours que alpha et bêta sont strictement positifs, car des valeurs négatives ou nulles généreront une erreur #NUM!. Utilisez des références de cellule plutôt que des valeurs codées en dur pour faciliter l'analyse de sensibilité.
xalphabetacumulativeExemples pratiques
Analyse de fiabilité d'un équipement industriel
=LOI.WEIBULL.N(5000;1.5;6000;VRAI)Cette formule calcule la fonction de distribution cumulative pour 5000 heures, donnant la probabilité que la machine défaille avant 5000 heures. La valeur VRAI indique qu'on veut la CDF cumulative. Le résultat (environ 0.456) signifie que 45.6% des machines défaillent avant 5000 heures.
Calcul de la densité de probabilité pour une analyse de risque
=LOI.WEIBULL.N(30000;2.2;45000;FAUX)Avec FAUX, la formule retourne la fonction de densité de probabilité (PDF) au point 30000 euros. Cette valeur représente la hauteur de la courbe de distribution à ce point, utile pour identifier les valeurs les plus probables. Un résultat de 0.0000287 indique une densité relativement faible à ce montant.
Étude de durée de vie des composants électroniques
=1-LOI.WEIBULL.N(8000;3.5;10000;VRAI)En soustrayant le résultat de la CDF à 1, on obtient la fonction de survie (probabilité de survie après 8000 heures). Cette approche est standard en analyse de fiabilité. Si la CDF vaut 0.367, la probabilité de survie est 0.633 (63.3% des LED survivent au-delà de 8000 heures).
Points clés à retenir
- LOI.WEIBULL.N est la fonction standard Excel pour modéliser les distributions de Weibull, indispensable en analyse de fiabilité et d'ingénierie
- Les paramètres alpha (forme) et bêta (échelle) façonnent complètement la distribution ; alpha contrôle le type de défaillance (précoce, constante ou progressive)
- Utilisez cumulative=VRAI pour les probabilités cumulatives (CDF) et cumulative=FAUX pour la densité (PDF), selon votre objectif analytique
- La fonction permet de calculer des métriques critiques comme le MTBF, les percentiles de survie et les seuils de maintenance préventive
- Combinez LOI.WEIBULL.N avec d'autres fonctions (GAMMA, TABLE.DONNEES, Solveur) pour créer des modèles prédictifs sophistiqués et des analyses de sensibilité
Astuces de pro
Utilisez les percentiles de Weibull pour établir des plans de maintenance préventive : calculez x tel que LOI.WEIBULL.N(x;alpha;bêta;VRAI)=0.9 pour déterminer quand remplacer 90% des composants avant défaillance.
Impact : Réduit les défaillances inattendues de 80-90% et optimise les coûts de maintenance en planifiant les interventions au bon moment.
Paramétrez alpha et bêta à partir de données empiriques en utilisant l'Utilitaire d'analyse ou le Solveur Excel : ajustez ces valeurs jusqu'à ce que la distribution théorique corresponde à vos données historiques.
Impact : Crée des modèles prédictifs fiables basés sur la réalité opérationnelle, augmentant la précision des prévisions de 40-60%.
Combinez LOI.WEIBULL.N avec PETITE.VALEUR et GRANDE.VALEUR pour identifier les seuils critiques : déterminez les 5% de cas les plus risqués et les 5% les plus robustes.
Impact : Permet une stratégie de gestion des risques différenciée, concentrant les efforts sur les composants vraiment critiques.
Créez un tableau de bord interactif avec des curseurs (Contrôles de formulaire) pour ajuster alpha et bêta en temps réel et voir l'impact immédiat sur la distribution.
Impact : Facilite la communication avec les stakeholders non-techniques et accélère les processus de décision en rendant les données visuelles et interactives.
Combinaisons utiles
Analyse de survie avec intervalle de confiance
=1-LOI.WEIBULL.N(x;alpha;bêta;VRAI) pour la courbe de survie, combinée avec LOI.WEIBULL.N pour les bornes d'intervalleEn combinant la fonction de survie (1-CDF) avec deux appels à LOI.WEIBULL.N pour les percentiles inférieur et supérieur, vous créez une analyse complète de fiabilité avec intervalles de confiance. Utile pour les rapports d'ingénierie.
Simulation de scénarios avec TABLE.DONNEES
Utilisez TABLE.DONNEES pour créer une matrice de résultats LOI.WEIBULL.N en faisant varier alpha et bêtaCréez une analyse de sensibilité bidimensionnelle en testant différentes combinaisons de paramètres. Cela permet d'identifier rapidement comment les variations de forme et d'échelle impactent la probabilité de défaillance.
Calcul du MTBF (Mean Time Between Failures) avec GAMMA
=bêta*GAMMA(1+1/alpha) pour calculer la moyenne théorique, puis comparez avec LOI.WEIBULL.NLa formule MTBF de Weibull combine le paramètre bêta avec la fonction Gamma. En la calculant puis en validant avec LOI.WEIBULL.N aux points clés, vous vérifiez la cohérence de votre modèle.
Erreurs courantes
Cause : Les paramètres alpha ou bêta sont négatifs, nuls, ou x est négatif. La loi de Weibull n'accepte que des valeurs strictement positives pour ces paramètres.
Solution : Vérifiez que alpha > 0, bêta > 0 et x ≥ 0. Utilisez ABS() si nécessaire ou ajoutez une validation avec SI() : =SI(ET(alpha>0;bêta>0;x>=0);LOI.WEIBULL.N(x;alpha;bêta;VRAI);"Erreur paramètres")
Cause : Le paramètre cumulative n'est pas un booléen ou contient du texte au lieu de VRAI/FAUX. Excel attend une valeur logique ou 0/1.
Solution : Remplacez VRAI par 1 et FAUX par 0, ou assurez-vous que la cellule contient bien une valeur booléenne. Exemple correct : =LOI.WEIBULL.N(5000;1.5;6000;1) au lieu de =LOI.WEIBULL.N(5000;1.5;6000;"VRAI")
Cause : Les références de cellule utilisées dans la formule pointent vers des cellules supprimées ou invalides après une restructuration du classeur.
Solution : Vérifiez toutes les références avec Ctrl+` pour afficher les formules, ou utilisez l'outil Vérifier les erreurs. Recréez les références en cliquant directement sur les cellules plutôt que de taper manuellement.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que alpha et bêta sont tous deux strictement positifs (> 0) et non zéro
- 2.Confirmez que x est positif ou nul (x ≥ 0), car la loi de Weibull n'accepte pas les valeurs négatives
- 3.Assurez-vous que le paramètre cumulative est bien VRAI ou FAUX (ou 1 ou 0), pas du texte ou une autre valeur
- 4.Testez les formules avec des valeurs de référence connues : LOI.WEIBULL.N(bêta;alpha;bêta;VRAI) doit toujours retourner ≈0.632
- 5.Vérifiez que les références de cellules ne contiennent pas d'espaces ou de caractères spéciaux cachés
- 6.Utilisez l'Audit de formules (Formules > Audit de formules) pour tracer les dépendances et détecter les erreurs de référence
Cas particuliers
x = 0 avec cumulative = VRAI
Comportement : Retourne 0 (la probabilité cumulative à zéro est toujours zéro pour une distribution continue)
Comportement mathématiquement correct et attendu
x = 0 avec cumulative = FAUX
Comportement : Retourne 0 si alpha > 1, ou l'infini mathématique si alpha ≤ 1 (Excel affiche #NUM! ou une très grande valeur)
Solution : Utilisez une valeur x légèrement supérieure à 0 (par exemple 0.001) pour éviter les singularités mathématiques
Cas limite lié à la singularité de la densité de Weibull à l'origine quand alpha < 1
alpha très proche de 1 (par exemple 1.0001)
Comportement : La distribution converge vers l'exponentielle, mais les calculs numériques peuvent montrer de légères imprécisions
Solution : Utilisez LOI.EXPONENTIELLE.N directement si alpha = 1, pour éviter les erreurs d'arrondi
Cas de transition où la distinction entre Weibull et exponentielle devient floue
Limitations
- •LOI.WEIBULL.N n'accepte que des valeurs strictement positives pour alpha et bêta, limitant son utilisation à des domaines où ces paramètres ont une signification physique positive
- •La fonction suppose que les données suivent exactement une distribution de Weibull, ce qui peut ne pas correspondre à des phénomènes réels complexes ou multi-modaux
- •Excel ne fournit pas de fonction inverse (quantile) pour Weibull ; vous devez utiliser le Solveur ou des approximations numériques pour trouver x tel que CDF(x) = p
- •Les calculs deviennent instables numériquement quand alpha est très grand (>100) ou très petit (<0.01), conduisant à des imprécisions ou des erreurs de débordement
Alternatives
Compatibilité
✓ Excel
Depuis Excel 2010
=LOI.WEIBULL.N(x; alpha; bêta; cumulative) - identique dans Excel 2013, 2016, 2019 et 365✓Google Sheets
=WEIBULL(x; alpha; bêta; cumulative) - syntaxe légèrement différente, utilise WEIBULL au lieu de LOI.WEIBULL.NGoogle Sheets utilise la fonction WEIBULL avec la même logique mais sans le suffixe .N. Les paramètres et résultats sont identiques.
✓LibreOffice
=WEIBULL(x; alpha; bêta; cumulative) - même que Google Sheets, utilise WEIBULL sans le suffixe .N