LOI.BETA.N : Calculer la distribution bêta en Excel - Guide complet
=LOI.BETA.N(x; alpha; bêta; cumulative; [A]; [B])La fonction LOI.BETA.N est un outil statistique puissant permettant de calculer la probabilité d'une distribution bêta, largement utilisée en analyse de risque, en contrôle de qualité et en modélisation financière. Cette distribution est particulièrement adaptée pour modéliser des phénomènes limités dans un intervalle défini, comme les taux de réussite, les proportions ou les pourcentages. La distribution bêta offre une flexibilité remarquable grâce à ses deux paramètres (alpha et bêta) qui permettent de créer une grande variété de formes de courbes. Dans le contexte professionnel, LOI.BETA.N intervient notamment dans les projections de délais (PERT), l'évaluation des risques en gestion de projet, et l'analyse bayésienne. Contrairement à la distribution normale qui s'étend à l'infini, la distribution bêta est naturellement bornée entre deux limites, ce qui la rend idéale pour modéliser des variables qui ne peuvent prendre que certaines valeurs. Comprendre cette fonction vous permettra de réaliser des analyses statistiques sophistiquées et d'améliorer significativement la qualité de vos modèles décisionnels.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe complète de LOI.BETA.N est : =LOI.BETA.N(x; alpha; bêta; cumulative; [A]; [B]). Le paramètre x représente la valeur à évaluer, qui doit obligatoirement se situer entre les limites A et B. Alpha et bêta sont les deux paramètres de forme de la distribution bêta ; tous deux doivent être strictement positifs (> 0). Le paramètre cumulative détermine le type de résultat : VRAI retourne la fonction de répartition cumulative (probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x), tandis que FAUX retourne la fonction de densité de probabilité. Les paramètres A et B définissent respectivement la limite inférieure et supérieure de l'intervalle ; par défaut, A=0 et B=1. Pour une valeur de x=0,5 avec alpha=2 et bêta=2 en mode cumulatif, vous obtiendrez environ 0,5 (la médiane). Ces paramètres doivent être cohérents : x doit être compris entre A et B inclus, sinon Excel retournera une erreur #NUM!.
xalphabetacumulativeExemples pratiques
Analyse PERT en gestion de projet
=LOI.BETA.N(10; 2; 2; VRAI; 5; 15)Cette formule calcule la fonction de répartition cumulative. Le paramètre x=10 est normalisé dans l'intervalle [5;15]. La formule retourne la probabilité cumulative que la durée soit inférieure ou égale à 10 jours.
Contrôle de qualité - Taux de défaut
=LOI.BETA.N(0,02; 3; 7; FAUX; 0; 0,05)Cette formule utilise le mode densité (FAUX) pour obtenir la hauteur de la courbe de probabilité au point x=0,02. L'intervalle est défini de 0 à 0,05 (0% à 5%). Cela aide à identifier les zones de probabilité les plus probables.
Estimation bayésienne - Taux de conversion
=LOI.BETA.N(0,25; 45; 155; VRAI; 0; 1)Cette approche bayésienne utilise les paramètres alpha et bêta directement issus des observations. La fonction retourne la probabilité cumulative que le vrai taux de conversion soit inférieur ou égal à 0,25.
Points clés à retenir
- LOI.BETA.N calcule les probabilités d'une distribution bêta, idéale pour les variables bornées dans un intervalle [A; B]
- Les paramètres alpha et bêta contrôlent la forme de la distribution ; leur rapport détermine l'asymétrie
- Le paramètre cumulative (VRAI/FAUX) détermine si vous obtenez une probabilité cumulative ou une densité
- La distribution bêta est particulièrement utile en gestion de projet (PERT), contrôle qualité et analyse bayésienne
- LOI.BETA.INVERSE permet de résoudre le problème inverse : trouver x pour une probabilité donnée
Astuces de pro
Utilisez des noms de plages pour les paramètres alpha et bêta afin de créer des modèles dynamiques. Créez une table de sensibilité en faisant varier ces paramètres pour explorer différents scénarios.
Impact : Améliore la maintenabilité du modèle et facilite les analyses de sensibilité sans modifier les formules existantes.
Pour la méthode PERT, estimez alpha et bêta à partir des trois points (optimiste, probable, pessimiste) en utilisant : alpha = ((probable - optimiste) × (pessimiste - probable)) / (pessimiste - optimiste)² × (1 - ((probable - optimiste) / (pessimiste - optimiste))).
Impact : Permet de convertir directement les estimations PERT en paramètres bêta pour une analyse probabiliste rigoureuse.
Combinez LOI.BETA.N avec un graphique XY pour visualiser la courbe de distribution. Créez une colonne de valeurs x de 0 à 1 et une colonne de densités correspondantes avec cumulative=FAUX.
Impact : Facilite la compréhension visuelle de la distribution et aide à valider que les paramètres alpha/bêta produisent la forme attendue.
Utilisez LOI.BETA.INVERSE pour générer des scénarios Monte Carlo : combinez-la avec ALÉA() pour créer des simulations probabilistes basées sur la distribution bêta.
Impact : Permet de réaliser des simulations stochastiques sophistiquées pour l'analyse de risque et la planification stratégique.
Combinaisons utiles
Combinaison avec SI pour analyse de seuil
=SI(LOI.BETA.N(x; alpha; bêta; VRAI; A; B) > 0,5; "Probable"; "Improbable")Cette combinaison utilise LOI.BETA.N pour calculer la probabilité cumulative, puis SI pour classifier le résultat. Utile pour créer des alertes ou des catégorisations basées sur des seuils de probabilité.
Combinaison avec MOYENNE et ÉCART.TYPE pour calibrage
=LOI.BETA.N(MOYENNE(données); alpha; bêta; VRAI; MIN(données); MAX(données))Cette formule utilise les statistiques descriptives des données pour calibrer les paramètres de la distribution bêta. Elle permet d'adapter dynamiquement l'intervalle [A; B] aux données observées.
Combinaison avec SOMME.SI pour analyse multi-scénarios
=SOMME(SI(LOI.BETA.N(plage_x; alpha; bêta; VRAI; A; B) > seuil; 1; 0))Cette formule matricielle compte le nombre de valeurs dans une plage dont la probabilité cumulative dépasse un seuil donné. Utile pour les analyses d'impact multi-scénarios en gestion de risque.
Erreurs courantes
Cause : La valeur de x se situe en dehors de l'intervalle [A; B], ou l'un des paramètres alpha/bêta est négatif ou égal à zéro.
Solution : Vérifiez que x ≥ A et x ≤ B. Assurez-vous que alpha > 0 et bêta > 0. Utilisez =LOI.BETA.N(0,5; 2; 2; VRAI; 0; 1) avec des valeurs valides.
Cause : L'un des paramètres n'est pas numérique, par exemple une référence à du texte ou un format incorrect.
Solution : Vérifiez que tous les paramètres sont des nombres ou des références à des cellules contenant des nombres. Évitez les formules textuelles. Utilisez =VALEUR() si nécessaire pour convertir du texte.
Cause : Une référence de cellule utilisée dans la formule pointe vers une cellule supprimée ou invalide.
Solution : Recalculez les références de cellules. Utilisez la fonction Tracer les erreurs d'Excel pour identifier les références rompues. Réécrivez la formule avec des références correctes.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifier que x est compris dans l'intervalle [A; B] et que A < B (ou A = B si intervalle unitaire)
- 2.Confirmer que alpha > 0 et bêta > 0 (les deux paramètres doivent être strictement positifs)
- 3.S'assurer que cumulative est soit VRAI soit FAUX (pas de valeurs textuelles ou numériques autres que 0/1)
- 4.Vérifier que tous les paramètres sont numériques et non du texte (utiliser VALEUR() si nécessaire)
- 5.Tester avec des valeurs simples connues (ex: alpha=1, bêta=1 produit une distribution uniforme)
- 6.Contrôler les références de cellules pour éviter les erreurs #REF! après suppression/déplacement
Cas particuliers
x = A ou x = B (valeurs aux limites de l'intervalle)
Comportement : Avec cumulative=VRAI, retourne 0 pour x=A et 1 pour x=B (probabilités limites). Avec cumulative=FAUX, retourne la densité aux extrémités.
Solution : Comportement mathématiquement correct. Aucune correction nécessaire, c'est le résultat attendu.
Les valeurs aux limites sont incluses dans l'intervalle [A; B].
alpha ou bêta très petits (< 0,1)
Comportement : La distribution devient très aplatie avec des pics aux extrémités. Les résultats restent valides mais peuvent sembler contre-intuitifs.
Solution : Vérifier que les paramètres alpha/bêta correspondent à votre modèle théorique. Consulter la documentation sur les distributions bêta.
Mathématiquement valide mais rare en pratique ; généralement alpha et bêta ≥ 0,5.
alpha = bêta = 1 (cas particulier)
Comportement : Produit une distribution uniforme : densité constante sur [A; B], probabilité cumulative linéaire.
Solution : Résultat correct. Utile pour tester ou modéliser une distribution uniforme via la bêta.
C'est le cas dégénéré où tous les points de l'intervalle sont équiprobables.
Limitations
- •LOI.BETA.N ne fonctionne que pour des variables bornées dans un intervalle fini [A; B]. Elle ne peut pas modéliser des variables non bornées ou semi-bornées.
- •Les paramètres alpha et bêta doivent être estimés ou connus a priori. Il n'existe pas de fonction d'ajustement automatique des paramètres à partir de données brutes dans Excel.
- •La fonction ne gère pas les distributions bêta généralisées ou les variantes multidimensionnelles. Pour des analyses complexes, des outils statistiques externes (R, Python) peuvent être nécessaires.
- •Excel limite la précision numérique à environ 15 chiffres significatifs, ce qui peut affecter les calculs avec des paramètres très grands (alpha, bêta > 10000).
Alternatives
Compatibilité
✓ Excel
Depuis 2010
=LOI.BETA.N(x; alpha; bêta; cumulative; [A]; [B]) - Disponible dans Excel 2010, 2013, 2016, 2019, 365. Remplace BETA.DIST.✓Google Sheets
=BETA.DIST(x; alpha; bêta; cumulative; [A]; [B]) - Google Sheets utilise BETA.DIST au lieu de LOI.BETA.NSyntaxe identique mais nom de fonction différent. Les paramètres et comportements sont strictement équivalents.
✓LibreOffice
=BETA.DIST(x; alpha; bêta; cumulative; [A]; [B]) - LibreOffice Calc utilise également BETA.DIST