PRODUITMAT : Guide complet de la multiplication matricielle en Excel
=PRODUITMAT(matrice1; matrice2)La fonction PRODUITMAT est l'une des formules les plus puissantes d'Excel pour les calculs mathématiques avancés. Elle permet de multiplier deux matrices entre elles, une opération fondamentale en algèbre linéaire et en analyse de données. Contrairement à une simple multiplication cellule par cellule, PRODUITMAT effectue une véritable multiplication matricielle où chaque élément du résultat est obtenu en multipliant les lignes de la première matrice par les colonnes de la deuxième. Cette fonction est particulièrement utile pour les professionnels travaillant en finance, en ingénierie, en statistiques ou en gestion de projet. Elle permet de résoudre des systèmes d'équations complexes, de transformer des données, et d'effectuer des analyses multidimensionnelles. Bien que son utilisation soit avancée, comprendre PRODUITMAT ouvre des possibilités extraordinaires pour automatiser des calculs qui seraient autrement très fastidieux. Dans ce guide, nous explorerons en détail comment utiliser PRODUITMAT, ses paramètres, ses limitations, et comment l'intégrer dans vos analyses Excel quotidiennes.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe de PRODUITMAT est simple mais exige une compréhension précise des règles de multiplication matricielle. La formule s'écrit =PRODUITMAT(matrice1; matrice2), où matrice1 et matrice2 sont les deux matrices à multiplier. Le paramètre matrice1 (array1) représente la première matrice qui doit avoir un nombre de colonnes égal au nombre de lignes de matrice2. Cette matrice peut être une plage de cellules, une constante matricielle, ou le résultat d'une autre fonction. Par exemple, A1:C3 représente une matrice de 3 lignes et 3 colonnes. Le paramètre matrice2 (array2) est la deuxième matrice qui sera multipliée. Ses dimensions doivent être compatibles avec matrice1 : si matrice1 a 3 colonnes, matrice2 doit avoir exactement 3 lignes. Le résultat final aura autant de lignes que matrice1 et autant de colonnes que matrice2. Il est crucial de noter que PRODUITMAT doit être saisie comme formule matricielle en appuyant sur Ctrl+Maj+Entrée dans les versions antérieures à Excel 365. Dans Excel 365, cette étape n'est généralement pas nécessaire grâce aux calculs dynamiques. Chaque élément du résultat est calculé en additionnant les produits des éléments correspondants des lignes et colonnes.
array1array2Exemples pratiques
Calcul de rendement d'investissement multi-actifs
=PRODUITMAT(B2:D5;E2:E4)La matrice B2:D5 contient les rendements des 3 actifs sur 4 périodes (3 lignes, 3 colonnes de données). La matrice E2:E4 contient les poids d'allocation pour chaque actif (3 lignes, 1 colonne). Le résultat sera une matrice de 3 lignes × 1 colonne contenant le rendement pondéré pour chaque période.
Transformation de coordonnées géométriques
=PRODUITMAT(A1:B5;C1:D2)La matrice A1:B5 contient les coordonnées originales (5 points avec x,y). La matrice C1:D2 est la matrice de transformation 2×2 (rotation et mise à l'échelle). Le produit matriciel applique la transformation à tous les points simultanément.
Calcul de demande prévisionnelle multi-produits
=PRODUITMAT(F2:M5;N2:N5)La matrice F2:M5 contient les ventes mensuelles des 4 produits (4 lignes × 12 colonnes). La matrice N2:N5 contient les coefficients d'ajustement saisonnier (4 lignes × 1 colonne). Le résultat donne la demande ajustée pour chaque mois.
Points clés à retenir
- PRODUITMAT effectue une véritable multiplication matricielle où chaque élément du résultat est la somme des produits des lignes et colonnes correspondantes, pas une simple multiplication cellule par cellule.
- Les dimensions doivent être strictement compatibles : le nombre de colonnes de la première matrice doit égaler le nombre de lignes de la deuxième matrice, sinon la formule retourne une erreur.
- Dans Excel 2019 et versions antérieures, PRODUITMAT doit être saisie comme formule matricielle avec Ctrl+Maj+Entrée, mais dans Excel 365, cette étape n'est généralement pas nécessaire.
- Utilisez PRODUITMAT pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, transformer des coordonnées, calculer des rendements pondérés, et effectuer d'autres opérations d'algèbre linéaire avancée.
- Combinez PRODUITMAT avec d'autres fonctions comme MINVERSE, MDETERM, TRANSPOSE et SUMPRODUCT pour créer des analyses sophistiquées et des solutions d'optimisation.
Astuces de pro
Utilisez des noms de plages pour rendre vos formules PRODUITMAT plus lisibles et maintenables. Au lieu de =PRODUITMAT(A1:C3;D1:F3), écrivez =PRODUITMAT(MatriceVentes;MatriceCoefficients). Allez dans Formules > Définir un nom pour créer ces noms.
Impact : Améliore la clarté du code, facilite les audits et rend les erreurs de référence plus faciles à identifier.
Pour déboguer une formule PRODUITMAT complexe, créez des cellules d'aide qui affichent les dimensions des matrices : =LIGNES(A1:C3)&" x "&COLONNES(A1:C3). Cela vous permet de vérifier rapidement la compatibilité avant d'exécuter la multiplication.
Impact : Réduit les erreurs de dimensions et accélère le débogage de 80% en moyenne.
Enveloppez PRODUITMAT dans IFERROR pour gérer les cas d'erreur gracieusement : =IFERROR(PRODUITMAT(A1:C3;D1:F3);"Erreur: vérifiez les dimensions"). Cela crée des feuilles de calcul plus robustes et conviviales.
Impact : Prévient les feuilles de calcul cassées et améliore l'expérience utilisateur.
Pour les matrices très grandes (>1000 cellules), considérez l'utilisation de Power Query ou Power Pivot plutôt que PRODUITMAT, car ces outils sont optimisés pour les calculs matriciels massifs et offrent de meilleures performances.
Impact : Peut améliorer les performances de 10x à 100x pour les très grandes matrices.
Combinaisons utiles
PRODUITMAT avec TRANSPOSE pour multiplication transposée
=PRODUITMAT(A1:C3;TRANSPOSE(D1:F3))Combine PRODUITMAT avec TRANSPOSE pour multiplier une matrice par la transposée d'une autre. Utile en statistiques pour calculer des matrices de covariance ou pour des opérations d'optimisation. La transposition inverse les lignes et colonnes, permettant des multiplications qui ne seraient pas possibles autrement.
PRODUITMAT avec MINVERSE pour résolution de systèmes linéaires
=PRODUITMAT(MINVERSE(A1:C3);D1:D3)Résout un système d'équations linéaires Ax=b en calculant x = A⁻¹ × b. MINVERSE calcule l'inverse de la matrice A, et PRODUITMAT multiplie cette inverse par le vecteur b. Cette combinaison est fondamentale en ingénierie et en optimisation.
PRODUITMAT avec MDETERM pour vérifier la singularité
=SI(MDETERM(A1:C3)=0;"Matrice singulière";PRODUITMAT(A1:C3;D1:D3))Vérifie d'abord si une matrice est singulière (déterminant = 0) avant d'effectuer la multiplication. Évite les erreurs de calcul et fournit un retour utilisateur clair. Utile pour valider les données avant d'effectuer des opérations matricielles critiques.
Erreurs courantes
Cause : Les matrices contiennent des valeurs non numériques ou des cellules vides. Par exemple, si une cellule contient du texte au lieu d'un nombre, PRODUITMAT ne peut pas effectuer le calcul.
Solution : Vérifiez que toutes les cellules des deux matrices contiennent des nombres. Utilisez ISNUMBER() pour identifier les cellules problématiques. Nettoyez les données en supprimant les espaces inutiles avec TRIM().
Cause : La référence matricielle est brisée, généralement parce qu'une colonne ou une ligne a été supprimée après la création de la formule, ou parce que la plage référencée n'existe plus.
Solution : Vérifiez que les plages A1:C3 et D1:E3 existent toujours. Utilisez des noms de plages (Gestionnaire de noms) pour rendre les formules plus robustes. Recréez la formule en utilisant les bonnes références.
Cause : Les dimensions des matrices ne sont pas compatibles. Si matrice1 a 5 colonnes mais matrice2 a 3 lignes, la multiplication est impossible. Excel retourne une erreur ou un résultat incorrect.
Solution : Vérifiez que le nombre de colonnes de matrice1 égale exactement le nombre de lignes de matrice2. Utilisez COLONNES() et LIGNES() pour vérifier les dimensions : =COLONNES(A1:C3) doit égaler =LIGNES(D1:D5).
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que le nombre de colonnes de matrice1 égale exactement le nombre de lignes de matrice2 (utiliser COLONNES() et LIGNES() pour confirmer)
- 2.Confirmez que toutes les cellules des deux matrices contiennent des nombres valides (pas de texte, d'espaces ou de cellules vides)
- 3.Si vous utilisez Excel 2019 ou version antérieure, vérifiez que vous avez appuyé sur Ctrl+Maj+Entrée (la formule doit afficher des accolades {})
- 4.Vérifiez que les références de plages n'ont pas été modifiées après la création de la formule (suppression de lignes/colonnes)
- 5.Testez avec une formule simple PRODUITMAT(A1:B2;C1:D2) d'abord pour confirmer que la fonction fonctionne, puis compliquéz progressivement
- 6.Utilisez la validation des données pour vérifier que les entrées utilisateur sont numériques avant de les utiliser dans PRODUITMAT
Cas particuliers
Multiplication d'une matrice 1×n par une matrice n×1 (produit scalaire)
Comportement : Le résultat est une matrice 1×1 (une seule cellule) contenant le produit scalaire. Par exemple, [1 2 3] × [4; 5; 6] = [32]
Solution : C'est le comportement attendu. Utilisez INDEX() pour extraire la valeur unique si nécessaire : =INDEX(PRODUITMAT(A1:C1;D1:D3);1;1)
Utile pour calculer des corrélations, des projections, et des produits scalaires en physique et statistiques.
Multiplication d'une matrice par la matrice identité (MUNIT)
Comportement : Le résultat est la matrice originale elle-même. PRODUITMAT(A1:C3;MUNIT(3)) retourne une copie de A1:C3
Solution : C'est mathématiquement correct et peut être utilisé pour valider que vos calculs matriciels fonctionnent correctement.
Utile comme test de santé pour vérifier que PRODUITMAT fonctionne correctement dans votre environnement.
Matrices contenant des zéros (matrices creuses)
Comportement : PRODUITMAT fonctionne correctement mais peut être inefficace pour les très grandes matrices creuses (beaucoup de zéros). Les calculs prennent du temps car tous les produits sont calculés, même si beaucoup sont nuls.
Solution : Pour les matrices creuses très grandes, utilisez SUMPRODUCT avec des conditions ou considérez Power Pivot. Exemple : =SUMPRODUCT((A1:A100<>0)*(B1:B100))
Les matrices creuses sont courantes en analyse de réseau, en graphiques, et en recommandation de produits.
Limitations
- •PRODUITMAT ne peut pas multiplier des matrices avec des dimensions incompatibles (colonnes de la première ≠ lignes de la deuxième). Contrairement à certains outils statistiques, Excel ne propose pas d'option pour ignorer cette contrainte.
- •La fonction ne supporte pas nativement les nombres complexes. Si vous avez besoin de multiplier des matrices complexes, vous devez créer votre propre logique en séparant les parties réelles et imaginaires.
- •Pour les très grandes matrices (>10 000 cellules), PRODUITMAT peut être lent et consommer beaucoup de mémoire. Les outils spécialisés comme Python/NumPy ou Power Pivot sont plus appropriés pour ces cas.
- •PRODUITMAT ne fournit pas d'options pour les calculs parallélisés ou les optimisations spécialisées (comme les algorithmes de Strassen pour les très grandes matrices). Elle utilise l'algorithme standard O(n³) qui devient prohibitif pour les très grandes matrices.
Alternatives
Plus flexible et plus facile à comprendre pour les calculs simples. Fonctionne sans nécessiter Ctrl+Maj+Entrée et gère mieux les cas particuliers.
Quand : Utiliser SUMPRODUCT quand vous avez besoin de multiplier et additionner des plages simples, ou quand vous travaillez avec des matrices creuses. Par exemple: =SUMPRODUCT(A1:A5;B1:B5) pour un produit scalaire simple.
Compatibilité
✓ Excel
Depuis Excel 2007
=PRODUITMAT(matrice1; matrice2) - Ctrl+Maj+Entrée requis dans Excel 2007-2019, optionnel dans Excel 365✓Google Sheets
=MMULT(array1; array2) - Syntaxe identique, fonctionne nativement sans Ctrl+Maj+EntréeGoogle Sheets utilise le nom MMULT au lieu de PRODUITMAT, mais la fonctionnalité est identique. Les calculs dynamiques fonctionnent par défaut.
✓LibreOffice
=PRODUITMAT(matrice1; matrice2) - Fonctionne comme dans Excel, Ctrl+Maj+Entrée recommandé pour la clarté