DETERMAT : La fonction Excel pour calculer les déterminants de matrices
=DETERMAT(matrice)La fonction DETERMAT est une fonction mathématique avancée d'Excel qui permet de calculer le déterminant d'une matrice carrée. Le déterminant est une valeur scalaire fondamentale en algèbre linéaire, utilisée pour déterminer si une matrice est inversible et pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Cette fonction est indispensable pour les professionnels travaillant dans les domaines de l'ingénierie, de la finance quantitative, de la physique appliquée et de l'analyse de données complexes. Dans le contexte professionnel moderne, comprendre comment utiliser DETERMAT ouvre des portes à des analyses sophistiquées. Que vous travailliez sur des modèles financiers impliquant des transformations matricielles, des calculs d'ingénierie ou des analyses statistiques multivariées, cette fonction devient rapidement indispensable. Elle s'intègre parfaitement dans des workflows d'analyse de données avancée, permettant de valider l'existence de solutions uniques à des systèmes d'équations ou d'évaluer la stabilité de transformations géométriques. Maîtriser DETERMAT signifie accéder à un niveau supérieur de manipulation de données dans Excel, en particulier lorsqu'elle est combinée avec d'autres fonctions matricielles comme MINVERSE, MMULT ou MUNIT. Cette compétence distingue les utilisateurs avancés et permet de résoudre des problèmes complexes directement dans Excel sans recourir à des logiciels spécialisés.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe de DETERMAT est remarquablement simple : =DETERMAT(matrice), où le paramètre matrice (array) est obligatoire et doit être une matrice carrée, c'est-à-dire contenant le même nombre de lignes et de colonnes. Le paramètre accepte une plage de cellules contenant des valeurs numériques, une constante matricielle, ou une référence à un tableau défini. La matrice peut être de dimensions 1×1 jusqu'à des dimensions plus grandes, bien que les performances se dégradent avec des matrices de très grande taille. Lorsque vous entrez la formule, assurez-vous que votre matrice est bien définie et contient uniquement des nombres. Si la matrice n'est pas carrée (par exemple 3×4), Excel retournera une erreur #VALUE!. Le résultat retourné est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou zéro. Un déterminant nul indique que la matrice est singulière, c'est-à-dire qu'elle n'a pas d'inverse. Pratiquement, cela signifie que les lignes ou colonnes de votre matrice sont linéairement dépendantes. Conseil pratique : avant d'utiliser DETERMAT, vérifiez toujours que votre matrice est carrée et qu'elle ne contient pas de cellules vides ou de texte. Vous pouvez utiliser des formules comme ROWS() et COLUMNS() pour valider les dimensions. Si vous travaillez avec des données importées, nettoyez-les d'abord pour éviter les erreurs. Notez également que DETERMAT gère bien les nombres décimaux et négatifs, mais peut rencontrer des problèmes de précision avec des nombres extrêmement grands ou petits en raison des limites de précision numérique d'Excel.
arrayExemples pratiques
Calcul du déterminant d'une matrice 3×3 en finance
=DETERMAT(A1:C3)La formule calcule le déterminant de la matrice 3×3 située en A1:C3. Si le résultat est différent de zéro, la matrice est inversible et la transformation de portefeuille peut être appliquée. Un déterminant nul signifierait que la transformation n'est pas réversible.
Validation d'une matrice de corrélation en analyse statistique
=IF(DETERMAT(D1:G4)=0,"Multicolinéarité détectée","Matrice valide")Cette formule combine DETERMAT avec IF pour vérifier si le déterminant de la matrice de corrélation est nul. Si c'est le cas, cela indique une multicolinéarité parfaite (dépendance linéaire entre variables), ce qui invaliderait certains modèles statistiques.
Calcul du volume d'un parallélépipède en géométrie appliquée
=ABS(DETERMAT(H1:J3))Le déterminant d'une matrice 3×3 formée par trois vecteurs donne le volume signé du parallélépipède qu'ils définissent. En prenant la valeur absolue avec ABS(), on obtient le volume géométrique positif, indépendamment de l'orientation des vecteurs.
Points clés à retenir
- DETERMAT calcule le déterminant d'une matrice carrée, essentiel pour vérifier l'inversibilité et résoudre des systèmes d'équations linéaires.
- Un déterminant nul indique une matrice singulière (non inversible), signalant une dépendance linéaire entre les lignes ou colonnes.
- La fonction fonctionne uniquement avec des matrices carrées (n×n). Toute autre dimension retourne #VALUE!.
- Combinez DETERMAT avec IF, IFERROR et d'autres fonctions matricielles (MINVERSE, MMULT) pour créer des analyses sophistiquées.
- Pour les matrices de très grande taille ou une précision extrême, préférez des outils spécialisés comme Python/NumPy à Excel.
Astuces de pro
Utilisez des noms de plages pour vos matrices (ex: "MatriceFinance") et référencez-les dans DETERMAT. Cela rend vos formules plus lisibles et facilite la maintenance.
Impact : Améliore la clarté du code et permet de réutiliser facilement les mêmes matrices dans plusieurs formules sans risque d'erreur de référence.
Pour déboguer les problèmes de déterminant, créez une colonne de vérification avec =ROWS(plage)&"x"&COLUMNS(plage) pour confirmer que votre matrice est carrée avant d'appliquer DETERMAT.
Impact : Économise du temps en identifiant rapidement les erreurs de dimension de matrice, la cause la plus commune de #VALUE!.
Combinez DETERMAT avec IFERROR pour créer des formules robustes : =IFERROR(DETERMAT(A1:C3),"Erreur de matrice"). Cela fournit un feedback utilisateur clair au lieu d'erreurs cryptiques.
Impact : Rend vos feuilles de calcul plus professionnelles et faciles à utiliser, en particulier si d'autres personnes les utilisent.
Pour les matrices de grande taille, testez d'abord avec une sous-matrice pour vérifier la performance. Excel peut être lent avec des matrices > 50×50.
Impact : Vous évite des blocages ou des calculs infinis sur des données volumineuses.
Combinaisons utiles
Vérification d'inversibilité avant MINVERSE
=IF(DETERMAT(A1:C3)<>0,MINVERSE(A1:C3),"Matrice singulière")Cette combinaison teste d'abord si le déterminant est non nul (matrice inversible) avant d'appliquer MINVERSE. Cela évite les erreurs et fournit un message clair si la matrice n'est pas inversible.
Calcul du volume avec transformation géométrique
=ABS(DETERMAT(A1:C3))*MMULT(TRANSPOSE(A1:C3),A1:C3)Combine DETERMAT avec MMULT et TRANSPOSE pour calculer le volume transformé d'une géométrie. Le déterminant donne le facteur d'échelle volumétrique, multiplié par la matrice de Gram pour l'analyse géométrique complète.
Validation de système d'équations linéaires
=IF(AND(DETERMAT(A1:C3)<>0,ROWS(A1:C3)=COLUMNS(A1:C3)),"Système avec solution unique","Vérifier le système")Valide qu'un système d'équations linéaires Ax=b a une solution unique en vérifiant que la matrice A est carrée et son déterminant est non nul. Combine DETERMAT, AND, ROWS et COLUMNS pour une validation robuste.
Erreurs courantes
Cause : La matrice n'est pas carrée (nombre de lignes ≠ nombre de colonnes) ou contient du texte, des cellules vides ou des valeurs non numériques.
Solution : Vérifiez que votre plage est bien carrée en comptant les lignes et colonnes. Nettoyez les données en supprimant le texte et en remplaçant les cellules vides par 0 si approprié. Utilisez =ROWS(plage)=COLUMNS(plage) pour valider automatiquement.
Cause : La plage de cellules référencée dans la formule a été supprimée ou la référence est invalide après un déplacement de colonnes/lignes.
Solution : Vérifiez que la plage A1:C3 existe toujours et n'a pas été supprimée. Utilisez des noms de plages définis (Formules > Définir un nom) pour rendre vos références plus robustes et faciles à maintenir.
Cause : La matrice contient des nombres extrêmement grands ou petits, causant un débordement ou une sous-estimation numérique lors du calcul du déterminant.
Solution : Normalisez vos données en divisant par un facteur d'échelle avant de calculer le déterminant, puis ajustez le résultat en conséquence. Exemple : si tous les nombres sont en millions, divisez par 1 000 000 avant DETERMAT.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que votre matrice est carrée en utilisant =ROWS(plage)=COLUMNS(plage). Si ce n'est pas le cas, vous obtiendrez #VALUE!.
- 2.Assurez-vous que toutes les cellules de la matrice contiennent des nombres. Cherchez du texte caché, des espaces ou des cellules vides.
- 3.Testez avec une petite matrice 2×2 de valeurs simples (ex: [[1,2],[3,4]]) pour confirmer que la syntaxe fonctionne.
- 4.Si le résultat est zéro ou très proche de zéro, vérifiez si vos données contiennent une dépendance linéaire (lignes/colonnes proportionnelles).
- 5.Utilisez =IFERROR(DETERMAT(A1:C3),"Erreur") pour identifier précisément quel type d'erreur se produit.
- 6.Vérifiez la plage de valeurs : si certaines valeurs sont extrêmement grandes/petites, normalisez-les avant le calcul pour éviter les erreurs #NUM!.
Cas particuliers
Matrice 1×1 (valeur scalaire)
Comportement : DETERMAT retourne la valeur elle-même. Par exemple, =DETERMAT(A1:A1) où A1=5 retourne 5.
Solution : C'est un comportement mathématiquement correct. Le déterminant d'une matrice 1×1 est simplement sa valeur unique.
Cas trivial mais utile pour valider la robustesse de formules génériques.
Matrice avec nombres très proches de zéro
Comportement : Le résultat peut être imprécis ou arrondi à zéro en raison des limites de précision numérique d'Excel (15-16 chiffres significatifs).
Solution : Normalisez les données en multipliant par un facteur d'échelle approprié avant le calcul. Exemple : si tous les nombres sont < 0.001, multipliez par 10^6.
C'est une limitation inhérente aux calculs en virgule flottante, pas spécifique à Excel.
Matrice mal conditionnée (lignes/colonnes presque linéairement dépendantes)
Comportement : DETERMAT retourne une très petite valeur (proche de zéro) mais pas exactement zéro, créant une ambiguïté sur l'inversibilité réelle.
Solution : Utilisez un seuil de tolérance : =IF(ABS(DETERMAT(A1:C3))<0.00001,"Potentiellement singulière","Inversible"). Considérez les méthodes de décomposition (LU, SVD) pour une analyse plus robuste.
Cas courant en analyse numérique. Les données réelles sont souvent mal conditionnées.
Limitations
- •DETERMAT fonctionne uniquement avec des matrices carrées. Les matrices rectangulaires retournent #VALUE!, limitant son utilité pour certains types de données.
- •La précision numérique est limitée à ~15-16 chiffres significatifs en Excel. Pour les calculs scientifiques exigeants, cette limitation peut être problématique.
- •Les performances se dégradent considérablement avec des matrices de taille supérieure à 50×50 ou 100×100. Excel n'est pas optimisé pour l'algèbre linéaire intensive.
- •DETERMAT ne fournit pas d'information sur le conditionnement de la matrice. Une matrice mal conditionnée peut avoir un déterminant non nul mais être pratiquement singulière numériquement.
Alternatives
Compatibilité
✓ Excel
Depuis 2007
=DETERMAT(matrice) - Disponible dans Excel 2007, 2010, 2013, 2016, 2019 et 365 avec la même syntaxe.✓Google Sheets
=MDETERM(matrice) - Google Sheets utilise MDETERM au lieu de DETERMAT. La syntaxe est identique mais le nom diffère.Les fichiers Excel importés dans Google Sheets auront leurs formules DETERMAT converties en MDETERM automatiquement.
✓LibreOffice
=MDETERM(matrice) - LibreOffice Calc utilise également MDETERM, similaire à Google Sheets.