COMPLEXE.LN : Calculer le logarithme naturel d'un nombre complexe en Excel
=COMPLEXE.LN(nombre_complexe)La formule COMPLEXE.LN est une fonction mathématique avancée d'Excel permettant de calculer le logarithme naturel (népérien) d'un nombre complexe. Cette fonction s'inscrit dans la suite complète des fonctions d'ingénierie d'Excel, destinées aux professionnels travaillant avec des nombres complexes en électronique, physique, mathématiques appliquées ou traitement du signal. Contrairement à la fonction LN classique qui ne fonctionne que sur des nombres réels positifs, COMPLEXE.LN accepte des nombres complexes au format texte ou directement générés par d'autres fonctions complexes. Le logarithme naturel d'un nombre complexe z = a + bi est défini mathématiquement comme ln(z) = ln(|z|) + i·arg(z), où |z| est le module du nombre complexe et arg(z) son argument. Cette fonction est indispensable dans les domaines de l'analyse de Fourier, de la théorie des circuits électriques, de la mécanique quantique et de tout calcul impliquant des transformations logarithmiques sur des quantités complexes. Excel retourne le résultat sous forme de nombre complexe texte au format "a+bi". Cette formule est disponible dans toutes les versions récentes d'Excel (2007 et ultérieures) et constitue un outil puissant pour les ingénieurs et scientifiques qui nécessitent des calculs précis avec des nombres complexes sans recourir à des logiciels spécialisés.
Syntaxe et paramètres
La syntaxe de COMPLEXE.LN est remarquablement simple : =COMPLEXE.LN(inumber), où inumber est l'unique paramètre requis. Ce paramètre doit être un nombre complexe, soit au format texte (par exemple "3+4i" ou "5-2j"), soit généré par une autre fonction complexe comme COMPLEXE(), COMPLEXE.MULT() ou COMPLEXE.PUISSANCE(). Excel accepte indifféremment la lettre "i" ou "j" pour représenter l'unité imaginaire, bien que "i" soit la convention mathématique standard. Le paramètre inumber ne peut pas être un nombre réel simple ; vous devez le convertir en nombre complexe. Par exemple, pour calculer le logarithme naturel de 5, écrivez =COMPLEXE.LN(COMPLEXE(5,0)) plutôt que =COMPLEXE.LN(5). La fonction retourne toujours un résultat au format texte représentant un nombre complexe. Le résultat peut être positif ou négatif, réel ou imaginaire, selon la valeur d'entrée. Un point crucial : COMPLEXE.LN n'accepte pas les nombres réels directs. Si vous passez un nombre réel simple, Excel génère une erreur #VALUE!. De plus, le logarithme naturel d'un nombre complexe est multivalué mathématiquement, mais Excel retourne la branche principale (celle avec -π < Im(ln(z)) ≤ π). Cette branche principale est suffisante pour la plupart des applications pratiques en ingénierie.
inumberExemples pratiques
Analyse d'impédance électrique
=COMPLEXE.LN(COMPLEXE(3,4))Cette formule crée d'abord le nombre complexe 3+4i, puis calcule son logarithme naturel. Le module de 3+4i est 5 (√(3²+4²)), et l'argument est arctan(4/3) ≈ 0.927 radians. Le résultat combine ln(5) ≈ 1.609 avec l'argument imaginaire.
Traitement du signal et transformée de Fourier
=COMPLEXE.LN(COMPLEXE(2,-3))Le nombre complexe 2-3i a un module de √13 ≈ 3.606 et un argument de arctan(-3/2) ≈ -0.983 radians. La fonction retourne ln(√13) + i·(-0.983), ce qui est essentiel pour les calculs de phase et d'amplitude normalisés.
Mécanique quantique et fonction d'onde
=COMPLEXE.LN(COMPLEXE(1,2))Le nombre complexe 1+2i possède un module √5 ≈ 2.236 et un argument arctan(2) ≈ 1.107 radians. La fonction retourne ln(√5) + i·1.107, permettant d'analyser séparément la magnitude (ln(√5) ≈ 0.805) et la phase (1.107 radians).
Points clés à retenir
- COMPLEXE.LN calcule le logarithme naturel de nombres complexes en utilisant la formule ln(z) = ln(|z|) + i·arg(z), où |z| est le module et arg(z) l'argument.
- La fonction accepte uniquement des nombres complexes (via COMPLEXE() ou format texte), pas des nombres réels simples ; utilisez =COMPLEXE.LN(COMPLEXE(a,b)).
- Le résultat est toujours un nombre complexe au format texte "a+bi" ; extrayez les parties réelle et imaginaire avec PARTIE.RÉELLE() et PARTIE.IMAGINAIRE().
- COMPLEXE.LN est indispensable en ingénierie, physique et traitement du signal pour les analyses de stabilité, transformées de Fourier et calculs quantiques.
- Gérez les cas limites (zéro, nombres réels négatifs) avec des conditions IF et IFERROR pour éviter les erreurs #NUM! et #VALUE! dans vos modèles.
Astuces de pro
Utilisez IFERROR pour gérer gracieusement les erreurs : =IFERROR(COMPLEXE.LN(z),"Erreur : entrée invalide"). Cela évite que vos feuilles de calcul affichent des codes d'erreur disgracieux et permet une meilleure communication avec les utilisateurs.
Impact : Améliore la robustesse et la professionnalisme de vos modèles Excel, surtout quand vous partagez des fichiers avec d'autres utilisateurs ou des clients.
Formatez les résultats complexes en colonnes séparées pour la lisibilité : créez une colonne pour la partie réelle (=PARTIE.RÉELLE(...)) et une pour la partie imaginaire (=PARTIE.IMAGINAIRE(...)). Cela facilite les graphiques et les analyses statistiques ultérieures.
Impact : Rend vos données complexes beaucoup plus accessibles et manipulables pour les analyses suivantes, réduisant les erreurs d'interprétation.
Convertissez les résultats imaginaires en degrés si nécessaire : =PARTIE.IMAGINAIRE(COMPLEXE.LN(z))*180/PI() pour obtenir l'argument en degrés au lieu de radians. Cela correspond mieux aux conventions d'ingénierie pratique.
Impact : Aligne vos résultats avec les standards industriels et les attentes des collègues travaillant en degrés plutôt qu'en radians.
Combinez COMPLEXE.LN avec des références absolues ($) pour créer des modèles réutilisables : =$A$1 pour le nombre complexe de référence, puis copiez la formule vers le bas. Cela permet des analyses comparatives rapides.
Impact : Économise du temps lors de l'analyse de multiples nombres complexes et réduit les risques d'erreurs de saisie manuelle.
Combinaisons utiles
Extraction de phase et magnitude pour analyse spectrale
=COMPLEXE.CRÉER(PARTIE.RÉELLE(COMPLEXE.LN(z)),PARTIE.IMAGINAIRE(COMPLEXE.LN(z)))Cette combinaison extrait séparément la partie réelle (logarithme du module) et imaginaire (argument) du résultat de COMPLEXE.LN. Utile pour analyser la réponse en fréquence d'un système : la partie réelle donne le gain en décibels (après conversion), la partie imaginaire donne la phase.
Calcul de puissances complexes via logarithme et exponentielle
=COMPLEXE.EXP(COMPLEXE.MULT(w,COMPLEXE.LN(z)))Cette formule calcule z^w (nombre complexe z élevé à une puissance complexe w) en utilisant la relation z^w = e^(w·ln(z)). Elle combine COMPLEXE.LN, COMPLEXE.MULT et COMPLEXE.EXP. Essentielle pour les calculs en mécanique quantique et théorie des systèmes.
Normalisation logarithmique pour traitement d'images
=COMPLEXE.LN(COMPLEXE.ADD(z,COMPLEXE(ε,0)))Ajoute une petite constante ε (epsilon) au nombre complexe avant d'appliquer le logarithme pour éviter les singularités au voisinage de zéro. Utilisé en traitement d'images pour normaliser les amplitudes de Fourier et améliorer le contraste sans divergence mathématique.
Erreurs courantes
Cause : Vous avez passé un nombre réel simple directement à COMPLEXE.LN, par exemple =COMPLEXE.LN(5) ou =COMPLEXE.LN("5"). Excel ne reconnaît pas le format et génère une erreur.
Solution : Convertissez toujours le nombre réel en nombre complexe avec la fonction COMPLEXE : =COMPLEXE.LN(COMPLEXE(5,0)). Cela indique explicitement à Excel que vous travaillez avec un nombre complexe.
Cause : Le nombre complexe d'entrée est zéro (0+0i). Le logarithme naturel de zéro est mathématiquement indéfini (tend vers -∞), et Excel rejette cette opération invalide.
Solution : Vérifiez que votre nombre complexe n'est pas nul avant d'appliquer COMPLEXE.LN. Utilisez une condition IF pour tester : =SI(ET(PARTIE.RÉELLE(inumber)=0,PARTIE.IMAGINAIRE(inumber)=0),"Erreur : zéro",COMPLEXE.LN(inumber))
Cause : La cellule référencée contenant le nombre complexe a été supprimée ou le chemin de la formule est invalide, par exemple =COMPLEXE.LN(A1) où A1 n'existe plus ou contient une référence circulaire.
Solution : Vérifiez que toutes les cellules référencées existent et contiennent des données valides. Utilisez le vérificateur de formules d'Excel (Formules > Vérifier les formules) pour identifier les références cassées.
Checklist de dépannage
- 1.Vérifiez que le paramètre est un nombre complexe valide au format COMPLEXE(a,b) ou texte "a+bi", pas un nombre réel simple.
- 2.Confirmez que le nombre complexe n'est pas égal à zéro (0+0i), car ln(0) est indéfini et génère #NUM!.
- 3.Testez que toutes les cellules référencées existent et ne contiennent pas de références circulaires (source de #REF!).
- 4.Utilisez COMPLEXE.MODULE et ARCTAN2 manuellement pour vérifier vos résultats : ln(|z|) + i·arg(z).
- 5.Vérifiez la version d'Excel (2007 minimum) et assurez-vous que les fonctions complexes sont activées (pas de module complémentaire manquant).
- 6.Formatez les cellules contenant les résultats en texte ou nombre pour éviter les arrondis involontaires qui masqueraient les erreurs de calcul.
Cas particuliers
Nombre complexe égal à zéro (0+0i)
Comportement : Excel génère l'erreur #NUM! car ln(0) est mathématiquement indéfini (tend vers -∞).
Solution : Vérifiez que le nombre complexe n'est pas nul avant d'appliquer COMPLEXE.LN. Utilisez =SI(ET(PARTIE.RÉELLE(z)=0,PARTIE.IMAGINAIRE(z)=0),"Zéro détecté",COMPLEXE.LN(z))
C'est une limitation mathématique, pas un bug Excel. Aucune solution ne peut contourner l'indéfinition mathématique.
Nombre réel négatif comme -5 (représenté en complexe : -5+0i)
Comportement : COMPLEXE.LN retourne ln(|-5|) + i·π = ln(5) + i·π = 1.609 + 3.142i (branche principale du logarithme complexe).
Solution : C'est le comportement correct. Le logarithme d'un nombre réel négatif est complexe avec une partie imaginaire égale à π.
Cela illustre la puissance de COMPLEXE.LN : elle gère les cas que LN ne peut pas traiter (nombres réels négatifs).
Nombre complexe très proche de zéro (par exemple 1e-300+1e-300i)
Comportement : Excel retourne un résultat avec une partie réelle très négative (ln de très petit module) et une partie imaginaire égale à π/4 (argument du nombre).
Solution : Vérifiez la précision numérique avec des tests statistiques. Ajoutez une constante epsilon petite avant COMPLEXE.LN si vous craignez les underflows : =COMPLEXE.LN(COMPLEXE.ADD(z,COMPLEXE(1e-15,0)))
Excel gère correctement les très petits nombres complexes, mais la précision diminue près des limites de représentation en virgule flottante (±1.8e308).
Limitations
- •COMPLEXE.LN n'accepte que des nombres complexes, pas des nombres réels simples. Vous devez toujours convertir avec COMPLEXE(a,0), ce qui peut être fastidieux dans les formules complexes.
- •La fonction retourne la branche principale du logarithme complexe (-π < Im(ln(z)) ≤ π). Les autres branches (multivaluées mathématiquement) ne sont pas accessibles, ce qui peut être une limitation en mathématiques théoriques avancées.
- •Le résultat est toujours au format texte "a+bi", nécessitant PARTIE.RÉELLE() et PARTIE.IMAGINAIRE() pour extraire les composantes numériques. Cela complique les calculs en cascade et ralentit légèrement les performances sur de grands datasets.
- •COMPLEXE.LN n'est pas disponible dans Google Sheets nativement, obligeant les utilisateurs à implémenter manuellement la formule ou à migrer vers Excel/LibreOffice pour accéder à cette fonctionnalité.
Alternatives
Offre plus de flexibilité et de contrôle sur chaque composante du logarithme. Permet de traiter la partie réelle et imaginaire séparément.
Quand : Quand vous avez besoin de manipuler individuellement le logarithme du module et l'argument, ou quand vous travaillez avec des versions anciennes d'Excel sans fonctions complexes intégrées.
Calculent le logarithme en base 10 ou base 2 au lieu du logarithme naturel. Plus pertinent pour certaines analyses d'ingénierie (décibels, échelles logarithmiques en base 2).
Quand : Pour les applications en traitement du signal, acoustique ou informatique où les logarithmes en base 10 ou 2 sont standards (dB, bits, octets).
Compatibilité
✓ Excel
Depuis 2007
=COMPLEXE.LN(inumber) - Disponible dans Excel 2007, 2010, 2013, 2016, 2019, 365 avec syntaxe identique.✗Google Sheets
Non disponible
✓LibreOffice
=IMLN(inumber) - LibreOffice utilise le préfixe IM au lieu de COMPLEXE. Syntaxe et résultats identiques à Excel.